TRIGONOMETRIA

Es laarte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

Triángulo rectángulo

Antes de concentrarnos en las funciones, nos ayudará dar nombres a los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera:

SENO COSENO TANGENTE

Las tres funciones más importantes en trigonometría son el seno, el coseno y la tangente.

Para el ángulo θ :

Función seno:

sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa

Función coseno:

cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa

Función tangente:

tan(θ) = Opuesto / Adyacente.

Soh...

Seno = Opuesto / Hipotenusa

...cah...

Coseno = Adyacente / Hipotenusa

...toa

Tangente = Opuesto / Adyacente

Ejercicios

1: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 30° ?


El triángulo clásico de 30° tiene hipotenusa de longitud 2, lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud √3:

Seno

sin(30°) = 1 / 2 = 0.5

Coseno

cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866

Tangente

tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577

2: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 45°?

El triángulo clásico de 45° tiene dos lados de 1 e hipotenusa √2:

Seno

sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707

Coseno

cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707

Tangente

tan(45°) = 1 / 1 = 1

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Adrián Paenza: libros y problemas

Hola! Gracias por acceder a nuestro blog, en esta entrada aremos la continuación sobre Adrián Paenza, mostrando cada uno de sus libros acompañados de un breve resumen y unos problemas para estos.




Matemática... ¿Estás ahí? es una serie escrita por el periodista y doctor en matemática argentino Adrián Paenza. Se trata de una serie dedicada principalmente a la matemática recreativa.

Publicación: 2006.

Moneda cargada Cada vez que hay una disputa sobre algo y hay que tomar una decisión entre dos posibilidades, se suele recurrir a tirar una moneda al aire. 
Sin que uno lo explicite en cada oportunidad, está claro que uno acepta (sin comprobar) que la moneda no está cargada. Es decir: uno supone que la probabilidad de que salga cara o ceca es la misma. Y esta probabilidad es 1/2, o la mitad de las veces. 
Hasta aquí, nada nuevo. Ahora, supongamos que uno tiene que decidir también entre dos posibilidades, y tiene una moneda, pero, a diferencia del planteo anterior, a uno le dicen que la moneda está cargada. No es que tenga dos caras o dos cecas. No. Decir que está cargada, es decir que la probabilidad de que salga cara es P mientras que la posibilidad de que salga ceca es Q, pero uno no sabe que P y Q son iguales. 
En todo caso, supongamos dos cosas más: 

1. P + Q = 1
2. P ? 0 y Q ? 0

La parte (a) dice que si bien P y Q no tienen por qué ser iguales a 1/2 como en el caso de una moneda común, la suma de las probabilidades da uno. Es decir, o bien sale cara o bien sale ceca. La parte (b) garantiza que la moneda no está cargada de tal manera que siempre salga cara o siempre salga ceca. 
La pregunta es: ¿cómo hacer para poder decidir entre dos alternativas cuando uno tiene una moneda de estas características.






Solución:

Supongamos que la probabilidad de que salga cara es p y la probabilidad de que salga cruz es q. Antes de escribir la solución, analicemos qué pasaría si tiráramos esta moneda al aire dos veces seguidas. ¿Cuáles son los resultados posibles?

cara-cara

cara-cruz

cruz-cara

cruz-cruz

Es decir, hay cuatro resultados posibles.

¿Cuál es la probabilidad de que salga el primero (o sea, cara-cara)? La probabilidad sería igual a:

p⋅p=p2

¿Cómo, esto también es matemática?

¡Estamos rodeados de números! Fechas de nacimiento, números de documentos, id del ordenador, teléfonos... Números que repetimos automáticamente y comienzan a tener sentido cuando los asociamos y logramos pensar de forma distinta. En ese momento aprendemos a educar la intuición y encontramos soluciones inesperadas. Desde cómo mejorar el tráfico en una gran ciudad hasta cómo realizar menos pasos para montar un rompecabezas. Desde cómo elegir una clave bancaria segura hasta cómo encontrar la estrategia adecuada para no perder nunca a las damas o adivinar un número o una carta. La lógica matemática envuelve todos nuestros actos cotidianos y es mucho más divertida de lo que imaginábamos.

Adrián Paenza nos invita a sumergirnos en el mundo de las matemáticas recreativas, de la matemagia. Un universo donde se aprende jugando.

Publicación: 1 de noviembre 2011.

Matemática para todos

Con problemas de lógica, estrategia, probabilidades e intuición, Adrián Paenza nos desafía una vez más a pensar y animarnos a jugar a la matemágica. Como dijo Richard Hamming: «Conocimiento y productividad son como el interés compuesto. Dadas dos personas con -aproximadamente- la misma habilidad, si una de ellas trabaja un diez por ciento más que la  otra, la que trabaja más va a terminar por producir más del doble que la otra. Cuanto más sabés, más aprendés. Cuanto más aprendés, más podés hacer. Cuanto más podés hacer, más oportunidades vas a tener. Funciona como el interés compuesto. No quiero dar un número porque no es algo exacto, pero dadas dos personas con la misma habilidad, la persona que pueda dedicarle todos los días una hora más a pensar que la otra, va a terminar siendo muchísimo más productiva en comparación a lo largo de la vida». Pensar, nos educa. «Matemática para todos» es el nuevo aporte de Adrián Paenza a la divulgación de la matemática.

Publicación: 1 de noviembre de 2002.

Diputados y senadores
El próximo caso es especial para diputados, senadores, funcionarios públicos, gente que toma decisiones. Les pido que lean con atención lo que sigue y verán como en algún momento de sus vidas se tropezaron (o se tropezarán) con un problema parecido. Acá va. 
Una compañía maderera (y papelera) está muy interesada (obviamente) en talar árboles en un bosque del noroeste argentino. El área está repleta de pinos, a tal punto que después del último relevamiento de la zona se sabe que el 99% de los árboles de esa región son justamente pinos: un lugar ideal para depredar. A la compañía maderera en cuestión únicamente le interesan los pinos y ya están listos para firmar un contrato con los dueños de la tierra. 
Los residentes de la zona y las organizaciones sociales sabiendo lo que está por pasar, luchan para que no se tale ningún árbol. Sin embargo, como buenos conocedores de que eso no habría de prosperar (por la cantidad de dinero que hay en juego) están dispuestos a hacer algunas concesiones. Para eso, presionan a los funcionarios públicos que tienen la obligación de regular esa área y logran que se incorpore al contrato una cláusula que impone algunas restricciones. 
En un gesto que resulta curioso, es la propia maderera la que envía el texto de la cláusula que termina siendo aceptado y, más aún, votado por la abrumadora mayoría de los legisladores, quienes encerrados entre la oferta de la empresa y el reclamo popular encontraron finalmente una vía de solución. 
Así las cosas, le pido (a usted) que ahora lea con cuidado el siguiente texto:

Se permite a la maderera “tal y cual” proceder a la poda de pinosúnicamente. Habida cuenta de que a la firma del contrato, el número de pinos del área representa el 99% del total de árboles, la empresa tendrá 60 días para realizar su tarea, y al finalizar la poda, la cantidad de pinos remanentes tendrán que representar el 90% del total de árboles de la zona en discusión.

Con esta cláusula, todo el mundo quedó satisfecho. Los pobladores y referentes sociales, si bien no habían logrado que la región resultara intocable —como pugnaron en un principio— entendieron que reducir de un 99% a un 90% no parecía un episodio tan grave. Y lo mismo sucedió entre los funcionarios que la terminaron aprobando casi por unanimidad. Ni que hablar de la maderera. 
¿Qué pasó cuando terminó la poda? Pasó que se armó un escándalo increíble, con tomas de ruta, quemas de neumáticos, funcionarios acusados de corrupción, escraches públicos, solicitadas en los diarios denunciando atropellos, abusos y violaciones al contrato firmado a los dueños de la compañía. En definitiva, un desastre. 
¿Por qué? ¿Qué pasó? ¿No era que el contrato estipulaba que al finalizar la poda los pinos tenían que representar el 90% del total de árboles de la zona? ¿Cuántos pinos terminó llevándose la compañía? Si el contrato se respetó, ¿qué fue lo que funcionó mal? 
Antes de sacar conclusiones, le propongo que hagamos algunas cuentas y después revisemos quién tiene/tenía razón. 

Caso testigo
Supongamos que en el bosque hubiera 100 árboles nada más. Entonces, como se sabe que el 99% son pinos, eso quiere decir que 99 de los 100 árboles son pinos. En todo caso, solamente uno es un “no pino” (por ponerle algún nombre ^[34] ). Lo que queremos hacer es calcular cuántos pinos se llevó la maderera. 
Lo que sabemos seguro es que el único árbol que no era un pino tiene que estar entre los que no se llevó la compañía. Pero (y acá le pido que me preste atención) la diferencia está en que mientras ese único árbol representaba el 1% del total de árboles antes de la poda, una vez finalizada, ese único árbol, ahora tiene que representar el 10% de los que quedaron. 
¿Y cuál tiene que ser el total de árboles que quedaron para que un árbol constituya el 10%? (¿Quiere pensar la respuesta usted?) ¿Cuántos árboles tiene que haber para que 1 sea el 10% del total? 
Sí, la respuesta que usted pensó es correcta: uno es el 10% de 10. O sea, luego de la poda, el total de árboles se redujo a ¡diez! Por lo tanto, la compañía maderera se llevó... ¡90 pinos! de los 99 que había al principio. 
O sea, ¡nadie violó ningún contrato! Lo que pasó es que haberles permitido podar los pinos que había (99) hasta reducir la cantidad de manera tal que después de la poda, el número de pinos represente el 90% del total de árboles que quedaron, le permitió a la empresa llevarse 90 de los 99 pinos que había. ¡Y nadie puede reclamar nada! O mejor dicho, sí, hay mucho para reclamar: ¡hay que saber hacer las cuentas antes! Hay que saber leer las cláusulas que involucran porcentajes bien explícitos, pues una sociedad no bien educada puede —en principio— ignorar el daño al que se está sometiendo. 
Las compañías (madereras o no) no ignoran esto. Y ya no me estoy refiriendo a la letra chica de un convenio. No. Me refiero a algo mucho más evidente y flagrante: es la propia letra del contrato la que fue firmada. 
Está claro que el ejemplo ^[35] es ficticio. La subnota adjunta explica que lo mismo sucedería en el caso general, cuando el total de árboles no fuera 100: vale siempre, en la medida en que se respeten los porcentajes indicados. 
Pero lo que no nos debería pasar es creer que porque —en apariencia— reducir de un 99% a un 90% no es tan grave, sin embargo, resulta ser un desastre, que es lo que se quería evitar. No hubo engaño: hubo ignorancia. Y a eso sí que no tenemos derecho.

Nota:
Si T es el total de árboles, P es el total de pinos, NP el total de “no pinos” y PC será el total de pinos cortados por la compañía, entonces, por un lado:
T = P + NP
Por otro lado,
NP = (1 / 100) T (*)
(o sea, los “no pinos” representan el 1% del total).
Al finalizar la poda, los NP tienen que representar el 10% del “nuevo” total. Es decir:
NP = (¹⁰/₁₀₀) (T - PC) (**)
Usando (*) y (**), se deduce que
(¹/₁₀₀) T = (¹⁰/₁₀₀) (T - PC)
Y de acá se concluye que:
T = 10T - 10 PC
O sea:
PC = (⁹/₁₀) T

Moraleja: ¡Los pinos cortados representan el 90% del total de árboles que había!

Matemagia

Adrián Paenza ha demostrado que la matemática sirve para mucho más que aburrirnos en el colegio. Este nuevo libro es un mar de ideas, juegos, desafíos, estrategias, ingenio y, sobre todo, magia.

¿Qué método debería usar una encuesta para ser infalible? ¿Puede la matemática resolver un caso judicial? ¿Cómo se hace para ganar una subasta por Internet? En una reunión con amigos, ¿cómo se puede demostrar que siempre dos personas tienen la misma cantidad de amigos presentes? ¿De qué secreto nos provee la matemática para ganar a la batalla naval? ¿Cuál es la mejor forma de organizar parejas para ir a un baile? Si tiramos una moneda diez veces seguidas, ¿saldrá más veces cara o ceca? ¿Cómo descubrir la combinación de un candado? Si una escuela tiene cuatro campanas, ¿cuántos órdenes posibles hay para que suenen? Si un hombre tiene dos hijos, uno de ellos es varón y nació un martes, ¿qué probabilidad hay de que los dos sean varones?

La matemática recreativa se puede aplicar para solucionar problemas cotidianos, despertar el pensamiento lateral, agilizar la mente, divertirnos y aprender.

Publicación: 1 de noviembre 2013.

La puerta equivocada: Una nueva entrada al parque de diversiones de la matemática.

Qué concepto tendríamos de la matemática si cuando éramos niños en vez
de hacer fracciones nos hubieran incentivado a pensar, por ejemplo, ¿
cuántas figuritas tenemos que comprar para completar el álbum del
Mundial o por qué la cola de al lado siempre se mueve más rápido? Como
dice Adrián Paenza, entramos a la matemática por la puerta equivocada y
hay que transmitir que la matemática es maravillosa. Por eso, este libro
es una invitación a encontrar esta nueva entrada y disfrutar de la
belleza de la matemática, que nos enseña a observar y analizar en forma
distinta nuestra vida cotidiana.
Este libro te demostrará cómo entre todos podemos adivinar el peso de un
toro, cómo podemos deducir si una jugada fue corner o saque de arco,
cuántas caras de un dado se pueden ver al mismo tiempo o cómo hace
Netflix para predecir qué película elegiremos. Estrategia, intuición,
deportes y juegos son algunos de los caminos que recorreremos en este
nuevo libro de quien mejor comunica la matemática en el mundo.

Publicación: 1 de noviembre 2014.

Detectives: Una invitación a develar 60 enigmas de la matemática recreativa.

Adrián Paenza, el padre de la matemática recreativa, propone convertirnos en detectives y dilucidar los dilemas de este policial de la matemática. Cada historia te llevará a lugares misteriosos, por ejemplo, a un bar antisocial con una barra para 25 personas en la que el barman tendrá que decidir dónde sentar al primer cliente para que entre la mayor cantidad de gente, pero siempre dejando un asiento de por medio. Presenciarás un torneo de ping-pong entre tres amigos durante toda una tarde: el primero jugó 10 partidos; el segundo, 15; y el tercero, 17. El desafío será deducir quién ganó el segundo partido. Y el recorrido te conducirá también a una disputa millonaria entre dos empresas, que se definirá, nada más y nada menos, que jugando al "piedra, papel o tijera".
La matemática tiene intriga y misterio. Se trata de pensar, juntar los datos, combinarlos, advertir la multiplicidad de obstáculos, y descubrir así algunos de los secretos que, todavía, esconde esta ciencia maravillosa.

Publicación: 1 de octubre de 2015.

Gracias!

R1NC0N MAT3MA7ICO

Sucesión de Fibonacci

La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computadora, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco y en la configuración de las piñas de las coníferas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus.

La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión^,  adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

HISTORIA

A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.

Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.
De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera suma matemática de la Edad Media.
En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.
Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

 

que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."

En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.

Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. =1.618039....
Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.

Matematicos y mas matematicos

• Ahora veremos otro de los genios matemáticos y su forma de expresar al mundo esta ciencia de una forma no tan aburrida...

                                                 Eduardo Saenz de Cabezon

Eduardo desde pequeño tuvo un poco de miedo a los pájaros. Aprendió a andar en bici con 20 años, pero sabe bucear muy bien desde los 4. Estudió Teología y Matemática, y encima es de Logroño (Pequeño pueblo en España); las tres cosas conforman un currículo casi irrepetible. Desde hace más de 10 años le dejan dar clase en la Universidad de La Rioja, y le permiten dedicarse a sus investigaciones matemáticas sin interrumpirlo casi nunca. Creó el grupo de monologuistas científicos The Big Van Theory, se da a conocer con la misma simpatía y calidez que derrocha en sus espectáculos de stand up. 

Es doctor por la Universidad de La Rioja tras la defensa de su tesis 'Combinatorial Koszul homology: computations and applications' (Homología de Koszul combinatoria: Cálculos y aplicaciones) por la que obtuvo la calificación de sobresaliente cum laude por unanimidad del tribunal, en la tesis, el doctor Sáenz de Cabezón obtiene resultados que permiten describir la estructura de ideales de monomios a partir de su homología de Koszul; describe algoritmos para el cálculo de esta homología; algoritmos implementados que muestran ser eficaces. Finalmente se dan aplicaciones de los algoritmos y resultados descritos en la tesis.

•  ¿Porque seguiste esta ciencia?

-Decidí que iba a seguir matemática el verano que hice la transición de la secundaria a la universidad. Por dos causas: una era que a mí me gustaban las cosas informáticas y entonces no había una carrera de informática. Y otra, porque tuve un profesor apasionado por la matemática. La forma en que nos transmitió esta disciplina, su belleza, fue apasionante. Con respecto a la actuación, llevo como 22 años contando cuentos en bares, cafés... O sea que ambas vocaciones se fueron desarrollando más o menos al mismo tiempo y ahora con esto de los monólogos científicos se juntaron.

¿Cómo es Eduardo? ¿Un friki, un genio loco? Quizás un poco de ambas, aunque advierte: Los que se dedican a las matemáticas no son gente rara. Aunque si lo fuesen no pasaría nada, eso de ser todos iguales no creo que sea bueno.

La materia a la que ha decidido confinar su vida es como el número áureo, se puede encontrar en cualquier lugar u objeto —en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol o en las pequeñas flores de los girasoles— si se aprende a mirar.

Un día este joven asustado inventó unas matemáticas que describen el comportamiento de las partículas elementales del Universo hoy en día, «describen la simetría de los suelos y de las paredes, del Palacio Nazarí de la Alhambra de Granada». Ahora, todos los aprendices de matemático mundo estudian, desde cualquier rincón del mundo y al cumplir los 20 años, el legado de aquel joven que cayó en un duelo.

• Sáenz de Cabezón no sabe si las matemáticas pueden hacer reír a cualquiera, porque hay gente muy aburrida por ahí que no se ríe de nada, pero abordarlas desde el humor siempre las hará más atractivas. Porque a pesar de que esta materia, una de las más misteriosas y enigmáticas del saber humano, pueda resultar aburrida para algunas personas, si se profundiza, si uno se deja cautivar como lo hace el riojano, son apasionantes.

"Para que sirven las matemáticas", uno de los stand up de Saenz: 

 https://www.youtube.com/watch?v=jej8qlzlAGw