NÚMEROS IRRACIONALES

Cuando surgieron los números, primero aparecieron los naturales, luego los enteros, mas tarde los racionales, los irracionales y por ultimo los reales.  

En esta entrada veremos ¿que son los números irracionales?, ¿como surgieron? y  ¿como se clasifican?

Números irracionales: 

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales  no periódicas o aperiodicas. De este modo, puede definirse al numero irracional a aquel que no se puede expresar en fracción por tener cifras no periódicas infinitas.

Surgimiento: 

Estos números surgieron a partir de un problema que se había planteado en la escuela de pitagoras que era, sacar la hipotenusa de un cuadrado de 1 cm de largo y 1 cm de ancho con el teorema de pitagoras, les quedo como resultado la raíz cuadrada de 2, la analizaron durante años pero al no poder representarla en fracción determinaron que la raiz cuadrada de dos era un Numero irracional. 

Tipos: 

Hay tres tipos de números irracionales:

1.  Los famosos: son aquellos que tienen un peso en la historia por ejemplo: la raíz cuadrada de dos, phi, entre otros. 
2. Aquellos que se pueden generar escribiendo las cifras decimales a partir de alguna regla o patron de formación para que sus cifras no sean periódicas, por ejemplo: 2,46810121416, esta va de dos en dos. 
3. Aquellos números que se pueden representar en la recta numérica 

Este ultimo tipo tiene varios pasos a seguir para que finalmente pueda ser representado en la recta y ahora se los explicaremos con la raíz cuadrada de 17: 

 PASO 1:  Pensamos en el teorema de pitagoras y en cuanto deberían medir los catetos de un triangulo rectángulo para que su hipotenusa mida la raíz cuadrada de 17. En este caso seria 4 al cuadrado un cateto mas 1 al cuadrado otro cateto. 

PASO 2: Se dibuja el triangulo rectángulo eligiendo una escala de medida que represente cada unidad, nosotras elegiremos de 1 cm. Un lado medirá 4 cm y otro 1 cm, pero se representa como 4 al cuadrado y el otro como 1 al cuadrado

PASO 3: Se dibuja una recta numérica donde se utilice la misma escala de medida que se eligió para construir el triangulo rectángulo, con el compás se toma la medida de la hipotenusa y con centro en cero se traza un arco. El punto que queda determinado entre el arco y la recta representa la raíz cuadrada de 17

Curiosidades matemáticas y "El problema de los sombreros" por Adrian Paenza

Curiosidades matemáticas 

1. Hasta el siglo XVI, las multiplicaciones se consideraban tan difíciles que sólo se enseñaban en las universidades.
2. Robert Recorde inventó, hace más de 400 años, las dos rayas = para indicar la igualdad, porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.
3. El sistema sexagesimal, del que nos servimos para las unidades horas, minutos o grados, se desarrolló hace siglos en la antigua Babilonia.
4. Los números negativos empezaron a usarse en la India en el siglo VII para indicar las deudas.
5. Sin embargo, hasta el s. XVIII los números negativos no fueron aceptados universalmente.
6. Un estudiante de posgrado en la universidad de Berkeley llegó tarde a la clase de estadística un día de 1939. En su apuro, copió dos problemas de la pizarra que, pensó, serían deberes. A los pocos días los entregó al profesor disculpándose por la tardanza, ya que le habían resultado más difíciles de lo habitual. Esos deberes eran en realidad dos famosos teoremas que hasta entonces nadie había probado.
7. El día de Pi o de la Aproximación de Pi es un día en honor a la expresión matemática Pi (3,1415926). Este día fue elegido de acuerdo al formato de fecha americano (mes/día), es decir, se celebra el 14 de marzo de cada año, en concreto, y para ser más exactos, a las 1:59 am.

                                                         

 Monumento a π en Cucuta, Colombia.

Otro problema de sombreros... ¿y van...?

Por Adrian Paenza.

Un rey convoca a los tres “lógicos” de su pueblo y les dice que necesita un nuevo primer ministro que lo ayude a pensar.

Le coloca un sombrero a cada uno, de manera tal de que (como es esperable) todos pueden ver el sombrero de todos los demás menos el propio.

Cada sombrero es de color blanco o azul.

El rey les garantiza que al menos uno de los sombreros va a ser azul...

o sea, o bien habrá uno azul, o dos azules o tres azules, pero seguro que no pueden ser los tres blancos.

Empieza a correr un reloj y cuando se llegue al minuto, el que sepa su color de sombrero debe decirlo y explicar cómo lo supo.

Si al minuto de empezar el juego, ninguno dice el color de sombrero que tiene, correrá otro minuto. En ese momento, cuando se llegue a los dos minutos, el rey volverá a preguntar si alguien sabe ahora qué color de sombrero tiene... y así siguiendo, una vez por minuto. Esas son las reglas.

Le propongo imaginar tres situaciones:

1) En la primera, luego de que pasa un determinado tiempo, uno de los participantes se levanta y dice el color de sombrero que tiene.

2) En la segunda, otra vez, después de esperar un rato, son dos los participantes que se levantan y dicen su color de sombrero en forma correcta.

3) Y la última es cuando –después de esperar un rato– los tres se levantan al mismo tiempo y anuncian su color de sombrero acertadamente. ¿Puede usted explicar qué tipo de distribución había hecho el rey en cada situación y cuánto tiempo hubo que esperar en cada caso?

Solución

Supongamos que usted es uno de los participantes. Empieza el juego y usted mira a las otras dos personas. Pueden pasar tres cosas:

a) usted ve dos sombreros blancos;

b) usted ve uno blanco y uno azul;

c) usted ve dos azules;

Analicemos juntos cada caso

a) si usted ve dos sombreros blancos, como el rey dijo que al menos uno va a ser azul, entonces, al cumplirse el minuto usted se levanta y dice que tiene color azul. No hay otra alternativa: uno de los tres tiene que ser azul. Si usted ve que los otros dos tienen color blanco, no queda más remedio que usted sea el que usa el sombrero azul. Esto explica la primera situación planteada en el problema original: se levanta una sola persona (en este caso usted) y eso sucede después de haber recorrido el primer minuto.

b) si usted ve un sombrero azul y uno blanco, entonces, en principio no puede decidir qué tiene. Cuando se cumple el primer minuto, usted espera saber qué es lo que hacen los otros. Claramente usted no está en condiciones de decir nada, pero, si la persona que tiene el sombrero azul estuviera viendo que usted tiene un sombrero blanco... como el otro también tiene un sombrero blanco, esa persona tendría que decir: “Yo sé lo que tengo: ¡es azul!”.

Luego, pasado el minuto, o bien la persona que tiene el sombrero azul dice que tiene azul y se termina el juego, o bien, no dice nadie nada. Si así fuere, entonces usted sabe que cuando se cumplan los dos minutos, usted va a poder decir con seguridad que tiene un sombrero azul. Por supuesto, con la misma lógica que usted, la otra persona que tiene el sombrero azul verá desde el principio que hay uno que tiene azul y otro blanco... y por lo tanto se levantará también sabiendo lo que tiene. O sea, en este caso, habrá dos de los participantes (usted y otro) que sabrán qué color de sombrero tienen, siempre y cuando tengan la paciencia de esperar dos minutos. Esta distribución de sombreros explica la segunda situación planteada en el problema original: se levantan dos de los participantes y para que esto suceda tuvieron que pasar exactamente dos minutos.

c) Si usted ahora viera que las otras dos personas tienen sombreros azules, usted, igual que antes, no podrá decir nada en el primer minuto, ¡seguro!

Sin embargo, si su sombrero fuera blanco, los otros dos participantes estarían en las condiciones del paso anterior (o sea, en “b”). Entonces, al pasar el primer minuto, seguro que nadie puede decir nada, pero al cumplirse el segundo minuto, seguro que los dos tendrían que decir que tienen sombrero azul.

Si también pasa el segundo minuto y nadie pudo decir lo que tenía, entonces, inexorablemente al cumplirse el tercer minuto, los tres sabrían qué color de sombrero tienen: ¡todos azules! Y este caso contempla la tercera situación planteada más arriba, ya que es la única posibilidad para que se levanten los tres, y eso sucedió después de que hubiera transcurrido el tercer minuto.

Muchas gracias por visitar nuestro blog, próximamente habrá una nueva entrada.

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RADICACIÓN:
Signos: para calcular el signo de toda raÍz debemos pensar siempre en la operación contraria la de la potencia, por ejemplo:

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

RAIZ DE RAIZ:

SIMPLIFICACION DE EXPONENTES E INDICES

En la potenciación y la radicación, por ser operaciones inversas, pueden simplificarse exponentes e índices

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UNA RAIZ

Se descomponen en factores el radical, se distribuye la raíz y se simplifica los factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice

SUMA Y RESTA DE RAÍCES (con igual índice)

Por no ser la radicación distributiva con respecto a la suma (o resta) no se puede aplicar la propiedad contraria, la ASOCIATIVA. Por consiguiente la suma de la raiz cuadrada de 3 + la raiz cuadrada de 12 = la raiz cuadrada de 15.

Se deben sumar raíces iguales, con idénticos radicales. En este caso se puede intentar factorear el número que no es primo

Decimal a fraccion y fraccion a decimal

Para convertir una Fracción en Decimal manualmente, sigue estos pasos:

Paso 1: Encuentra un número que puedas multiplicar por la parte de abajo de la fracción para hacer que sea 10, o 100, o 1000, o cualquier 1 seguido por varios 0s.

Paso 2: Multiplica también la parte de arriba por ese número.

Paso 3: Entonces escribe el número de arriba, poniendo la coma en el lugar correcto (un espacio desde la derecha por cada cero en el número de abajo)

Ejemplo 1: Expresar 3/4 como Decimal

Paso 1: Podemos multiplicar 4 por 25 para que sea 100

Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 25:

×25
3	=	75
4		100
×25

Paso 3: Escribe 75 con la coma a 2 espacios desde la derecha (porque 100 tiene 2 ceros);

Respuesta = 0,75

Ejemplo 2: Expresar 3/16 como Decimal

Paso 1: Tenemos que multiplicar 16 por 625 para que se vuelva 10.000

Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 625:

×625
3	=	1.875
16		10.000
×625

Paso 3: Escribe 1875 con la coma 4 espacios desde la derecha (porque 10.000 tiene 4 ceros);

Respuesta = 0,1875

Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.

Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)

Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción

Ejemplo 1: Expresar 0,75 como fracción

Paso 1: Escribe:

0,75

1

Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):

× 100
0,75	=	75
1		100
× 100

(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:

÷ 25
75	=	3
100		4
÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común !

Ejemplo 2: Expresa 0,625 como una fracción

Paso 1: escribe:

0,625

1

Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1,000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1,000)

625

1.000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):

	÷ 25		÷ 5
625	=	25	=	5
1,000		40		8
	÷ 25		÷ 5

Respuesta = 5/8

Gracias por visitar nuestro blog, habrá una nueva entrada la proxima semana.

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